问题解答
作者：大神团·张通
作者介绍：张通，新东方超尖生计划授课老师，北京大学力学系理论与应用力学专业学士。初中三年均获全国初中数学联赛一等奖，全国初中物理竞赛一等奖，全国初中化学竞赛一等奖，全国高中数学联赛一等奖，全国中学生物理竞赛二等奖，全国高中生物竞赛三等奖。
三门问题也被称为蒙提霍尔悖论，最先在美国的电视游戏节目Lets Make a Deal上出现，由主持人蒙提·霍尔Monty Hall提出。
此节目1963年在美国首播，风靡全美
该问题的数学描述如下：
现在有三扇门A、B、C，把一辆汽车和两头山羊等可能地放置于门后，一扇门后放一个。
参赛者在三扇门中挑选一扇。
主持人从未被选择的两扇门中打开一扇放置山羊的门。
参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。
我们的目标当然是选择后面有汽车的那一扇门。大家先想一想如果是你，你会选择换门吗？
乍一看，开出一个山羊门后，还剩一个山羊、一辆汽车，所以换和不换的概率都是才对。
当时甚至有很多美国的博士、学者都这么认为。
但正确答案却是：
问题的正确答案很反直觉，一度引起美国上下激烈的争论。之后不仅有专栏作家花了整整四期来解释说明，还有科普电视节目做实验验证，还被改编成电影《决胜21点》。
我们先来解决这个问题。为叙述方面，把最终选择对汽车记为中奖，否则记为不中奖。
由对称性不妨记汽车在A门后面。
第一种情况：参赛者选择A门，主持人在B、C门中随便开一个，则参赛者不换就中奖，换了不中奖；
第二种情况：参赛者选择B门，主持人开C门，留A门，则参赛者不换不中奖，换中奖；
第三种情况：参赛者选择C门，主持人开门B门，留A门，则参赛者不换不中奖，换中奖。
由于参赛者不知道任意一扇门后面是什么，所有每种选择即每种情况等可能。
有三张彩票其中只有一张中奖，主持人先让你选一张，然后问你是否愿意用你手里的一张换他手里其余的两张，这个问题很显然，一定要换！
因为你不换手里一张中奖概率为，换了两张中奖概率为。
好了，现在主持人先不问你换不换，而是将手里两张的彩票中的一张撕了，而且告诉你，撕掉的是一张没中奖的，然后只保留另一张，此时再问你是否愿意用你手里的一张换他手里剩下的一张？
这个情况跟前面完全没有区别，所以概率分布也不会变化。这时，该问题和三门问题
假设有一万扇门，只有一扇门后有汽车，其余门后均为山羊。
其他均不变。主持人会从剩下的9999扇门中开一扇山羊门，问你换不换门。如果你选择不换，好的，那么主持人再开一扇山羊门，按
解决了这个问题后，就可以推广了。
从结果分析，主持人开门前后，事先选定的门的概率是不发生变化的，而未选定的门的概率重新分配，每开一个门，就把该门的概率重新平均加到剩余未选定门的概率上，所以换后概率一定是增加的。
这个问题想清楚后，考虑它的变式。
原问题主干都不变，唯一的变化是
大家再想一想如果是你，你会选择换门吗？
解决该问题我们再用一次枚举法：
由对称性不妨记汽车在A门后面。这一次因为存在参赛者开门出汽车或山羊的情况，而参赛者选择门与开门两件事彼此独立（之前不考虑主持人开门的情况是因为他知道哪个门有汽车，他开门出山羊是必然事件），于是所有情况如下：
第一种情况：参赛者选择A门，然后开了B门，留C门，则参赛者不换中奖，换不中奖；
第二种情况：参赛者选择A门，然后开了C门，留B门，则参赛者不换中奖，换不中奖；
第三种情况：参赛者选择B门，然后开了C门，则参赛者不换不中奖，换中奖；
第四种情况：参赛者选择C门，然后开了B门，则参赛者不换不中奖，换中奖。
注意到参赛者选择B，然后开了A；参赛者选择C，然后开了A。以上两种情况不存在，否则会开出汽车与原叙述矛盾。
由于参赛者不知道任意一扇门后面是什么，选择门和开门都是等可能的，即每种情况等可能。
本质就是有两种情况被排除了，排除的原因是你发现这扇门后是山羊”这一条件，这种概率问题也被称为条件概率，也就是说，参赛者选择一个门并中奖是有条件的，是在他随后开的门后是山羊的条件下。条件概率的计算可以用贝叶斯Bayes公式来推导。
再来看这个问题的推广。
解：
从结果分析，自己开门前后，事先选定的门的概率是发生变化的，每开一个门，就把该门的概率重新平均加到剩余每个门的概率上，所以换后概率是不变的。
那么新的问题来了，这两个问题究竟有什么不同？
大家再回过头看文章开头描述的粗体部分，自己开门和主持人开门的不同处在于：
从博弈论的角度来理解就自然多了。
主持人充当的是上帝这个角色，对于上帝来说没有概率”这个概念，或者说，对于上帝，任何事件的概率只有 或 。
上帝开门，他只会去开那些概率为 的门，所以上帝开门必然开到山羊，它不会影响初始概率分布（在对称的意义下，如B门汽车C门山羊，他开C门；B门山羊C门汽车，他开B门），上帝开门没有对已经选择的门提供任何信息帮助判断，即参赛者选择一个门后，该门和其余所有门分别构成两个数组A、B，上帝开门则是把数组B里所有的0找出来，按顺序排在前面，而对A始终没有影响，即每次开门对A的概率是不发生变化的，B中剩余的数重新分配概率。
对于人（自己）来说，概率是人类无法全知全能的体现。
当抛一枚硬币时，落下的一刻，它是正是反，本就是一个确定的事件，但人类无法通过运动轨迹精确判断，只能给出可能性的猜测，并赋予可能性不同的大小，即概率。再比如，明天是否下雨，这本身就是一个确定的事件，但人类不具备精确预测的能力，所以只能通过一些相关的现象来赋予下雨可能性的大小。
回到问题，当自己开门时，因为你不知道接下打开的这个门后面是什么，是怀着试错的心理去开门，当开出山羊，你松了一口气，说明该门是汽车的初始分布已经不成立了，你接下来的猜测均是在该门是山羊的条件下进行的，你通过试错得到了信息，每个门的概率都重新分配，你对你初始选对汽车的信心也增加了。随着你不断地开出山羊，初始分布的种类也越来越少，而剩下的每个门均地位相同，它们的概率都相同地增加。
最后给出两个著名的问题留给大家思考。
监狱里关了三个囚犯A、B、C。
监狱长决定释放其中两个人，并且完全随机地选择了两个人并将自己的选择告诉了看守。三个囚犯都不知道谁会被释放。A问看守谁被释放了？”看守拒绝回答。于是A再问B或C中谁会被释放. 看守答B会被释放（但并不清楚C是否会被释放），已知看守不会说谎，那么得到这个信息后，此时A认为自己被释放的概率为多少？
答案：2/3 。
解析：有上帝，看守充当上帝的角色，上帝没有给A透漏有关A是否被释放的任何信息，所以A判断自己是否被释放和询问前一致，均为2/3。此题也可以用贝叶斯公式导出相同的答案。
现有三个箱子，每个箱子都有两个空档，中间用木板隔开。第一个箱子里面是两块金条，第二个箱子里面是两块银条，第三个箱子里面是一块金条和一块银条。随机抽取一个箱子，然后随机打开一个空档。如果里面是金条，那另外一个空档里是金条的概率是多少？
答案：2/3。
作者介绍：张通，新东方超尖生计划授课老师，北京大学力学系理论与应用力学专业学士。初中三年均获全国初中数学联赛一等奖，全国初中物理竞赛一等奖，全国初中化学竞赛一等奖，全国高中数学联赛一等奖，全国中学生物理竞赛二等奖，全国高中生物竞赛三等奖。新东方智慧学堂（zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。
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