1.「数学建模」的过程主要有哪些？ 数学建模的定义

数学模型是利用系统化的符号和数学表达式对间题的一种抽象描述。

Mathematical modeling is the link between mathematics and the rest of the world. You ask a question. You think a bit, and then you refine the question, phrasing it in precise mathematical terms. Once the question becomes a mathematics question, you use mathematics to find an answer. Then finally (and this is the part that too many people forget), you have to reverse the process, translating the mathematical solution back into a comprehensible, no-nonsense answer to the original question. Some people are fluent in English, and some people are fluent in calculus. We have plenty of each. We need more people who are fluent in both languages and are willing and able to translate. These are the people who will be influential in solving the problems of the future.

翻译的拙作见下：数学建模是数学与世界其他地方（其他领域）之间建立的联系的方法。您提出一个问题，然后稍作思考，然后细化问题，最后以精确的数学术语表述。一旦问题变成数学问题，您就要使用数学来找到答案。最后，最后（这是很多人忘记的部分），您必须逆转这一过程，将数学解转换回对原始问题的可理解的，有意义的答案。

我们知道，有些人说英语流利，有些人做微积分运算熟练，擅长不同领域的人多种多样。我们需要精通不同领域的人并且愿意将不同领域进行转化，这些人将对解决未来的问题产生影响。

这两本书实际上都清晰地说明了数学建模的特点，一个从方法上，一个从思想上。这里我稍微总结一下：

从思想上来说，数学建模是构建数学与其他学科之间的桥梁。我们所谓的交叉学科，很大概率就是以数学、统计学、物理学作为理论基础，计算机作为计算或可视化利器，对某些学科进行定量分析。比如现在流行的生物信息学、整合生命科学、商业分析，或者Computational XX的相关学科，基本上都和数学建模相关。

数学建模的主要过程

下面主要来谈谈数学建模的主要过程，或者我可以说是数学建模的整个生命周期是怎么样的。这里我同样使用中外两个不同版本的教科书对这个问题的看法，首先第一本是大家参加数学建模竞赛中可能已经使用过的教材：

数学建模五步法

下面是我老师教材中关于数学建模的一般流程 。这个流程与数学建模五步法相比，更加贴近实际项目中的流程，这里我使用AxGlyph绘制下改流程图：

基于模型解决问题的一般流程

这个流程图便是基于模型解决问题的一般流程，数学建模五步法与其相比更加精简，更适合在数学建模竞赛中应用，而该流程在实际生活中更具指导意义。还有一种是我们数学建模竞赛中常常走的写作套路，这里也和大家分享一下：

摘要 1.问题重述（背景介绍、文献综述、问题重述等） 2.问题分析（主要对问题进行一定的分析，可以做一个分析流图） 3.问题假设（其实也就是对问题的边界进行划定，我们需要让问题更具体一些） 4.符号说明（对于文章中主要出现的符号进行一定的解释，方便评委老师理解） 5.模型建立与求解（这一步最为核心，即数学建模和模型的求解部分） 6.灵敏度分析（即分析模型的输出，对参数或环境变化的敏感程度的分析） 7.模型的推广及优缺点（主要对模型的进一步研究分析和优缺点解释） 参考文献 附录

我们可以对基于模型解决问题的一般流程中的步骤进行一定的分析：

首先是

如果负责解决问题的人和负责提出问题的人对问题的理解不同，其结果可想而知。从错误”的问题出发，很难得出正确”的答案。

有时候，我们对于一个要解决的问题，可能并没有真正理解问题的本质，可能问题本身并不是一个问题，或者这个问题在很多年之前被人已经发现了，这样的情况在科研界是很容易出现的。比如之前吵得沸沸扬扬的关于一种新的特征值解法 ，陶哲轩在这一块也犯了这样的错误。对于我们普通人来说，更可能如此，一些问题只是拍脑袋想出来的，并没有深思熟虑。

很多人曾经指出：能够准确地提出问题，就相当于这个问题已经解决了一半。”因此，定义问题是解决问题的首要环节。

问题的定义主要有两个部分，分别是确定目标和划定边界。我们的目标应该是可以量化并且可以实现的，目标可能有一个目标，可能有多个目标，也可能是一个目标下有很多子目标。其次，我们需要划定边界，因为一个问题受到的影响因素有很多，我们需要做出取舍，找出主要矛盾，舍弃次要矛盾。这对于我们来说，实际上都是非常容易让我们头大的事情。

在定义问题的同时，还需要收集相应的数据。收集数据可以验证对问题的定义是否合理。

数据的收集通常是一个很繁琐的工作，我们往往希望乞求于有专业的组织或者个人可以给我们分享数据。某些数据我们可以根据网上现存的，如国家统计局的数据，而更多时候，我们只能通过自己收集，需要通过大量的调研、收集和整理。现在很多大企业越来越注重数据的收集、清洗、存储，在未来大数据时代中，数据驱动和以数据为王”会成为很多企业坚定发展的目标。

有时候因为数据收集上存在一定的差距，因此在很多和建模相关的竞赛中都给与数据，这样可以尽最大可能保证比赛更多地是在比较模型的优劣。

好了以上是关于定义问题和收集数据环节的解读，下面我们可以聊聊其他环节。

下面的两个环节可以放在一起来说，即数学建模和模型求解。在数学建模竞赛中，这个对应的环节是模型建立与求解，也是最为核心的步骤。同时，这应该是我们广大看这个问题的人，最为关心的问题，即我应该如何建模，并且模型应该如何进行求解。

在前面我们已经说过 ：

数学模型是利用系统化的符号和数学表达式对间题的一种抽象描述。

大家可以回到文章中的最前面去阅读关于数学建模的全部叙述，这里就不再重复，总而言之，这可能是对于很多本科学生甚至高中学生来说，可能第一次接触数学建模，会觉得这是一个肮脏”的事情。因为种种的假设以及原理不清楚、不明显，导致不觉得这是一个完美的、普世的。尤其是刚刚学完高中物理或者数学的同学，会觉得一切都是完美的、精确的。可能认为解题仅仅是高考那样，写出详细解答过程，得出答案即可。但事实上，我们阅读很多数模相关的论文，其中处处充满了

下面谈谈

数学模型中通常包含一些未知变量，如决策变量，需要通过模型求解来获得其（最优）取值。模型求解就是为了找出一组满足所有约束条件，同时使得目标函数值为最优的决策变量取值。

一般而言，模型的求解主要有以下两种形式 ：

1.确定可行解的范围，在该范围中通过某种方法寻找最优解。 2.找到一个可行解，通过某种方法逐步对其进行优化，直到无法优化为止。

从上述的两种求解策略中，我们可以感受到

从上面的介绍可以看出，很多软件的主要还是通过按钮操作，因此对于我们广大文科、经管类学生来说，尝试使用数学模型去解决一些问题的门槛，也没有那么高。对于理工科学生来说，学习一些语言的同时，实际上已经顺手掌握了一门可以用来求解模型的语言。

对于求解的结果，我们可以使用不同的形式进行表达，

对于市面上存在的林林总总的使用教程，虽然有些书写的不错，但是并不是最好的。最好的教程永远都是help文件或者技术文档。比如MATLAB的help文件几乎介绍了所有你可能用到的功能，并且给予了代码示例 ，从下图我们可以看出，帮助文档非常全，基本上过一遍自己需要了解的内容，就可以上手开始了：

MATLAB帮助文档菜单

比如我想学习多元线性回归并且想绘制回归曲线出来，我们查阅了MATLAB的帮助文档，得到下面的这种求解办法 ：

load carsmall Year = categorical(Model_Year); tbl = table(MPG,Weight,Year); mdl = fitlm(tbl,MPG ~ Year + Weight^2); plot(mdl)

MATLAB绘制出来的曲线

我们可以通过这种办法，一点点地去了解一个语言。其他的语言也是类似，比如你想使用Python下的可视化包Matplotlib 或者Seaborn ，你也可以去相关的官网去了解如何使用。这可能比你买书后，再去一页页翻书，效率要高得多。R语言也是进行类似操作。

用一句话总结，想学什么包，就去什么包的官网或者开源组织上去围观学习一圈，这样应该是学习使用这种包的一种比较有效率的方法。

对于文科学生来说，在做一些简单的统计模型或者计量模型的时候，可能会犹豫到底是使用SPSS/SAS/STATA/Eviews中的哪一种好，毕竟由于大体都是按钮式或者编程不是那么复杂，因此主要还是应用应该更有针对性，人大经济论坛上有一篇分析以上四种工具的比较文 ，我觉得还不错。

还有我们应该稍微注意下商业软件的版权问题，我在这里还是不建议大家使用盗版软件。很多开源软件如Python和R现在已经是非常强有力的模型求解武器。对于在校学生来说，MATLAB在很多学校也有开放正版软件的使用许可，对于参加全国大学生数学建模竞赛的同学，也有申请免费使用的许可。大家可以根据自己学校的特色和倾向性对工具进行选择。

以上稍微介绍了一下如何快速上手相关工具的经验分享，可能有点和这个问题的主题并不完全相关，但是我觉得作为很多同学的疑惑，在这里很有必要说清楚。

最后关于大学生数学建模竞赛，我适当补充一些对于刚刚开始尝试这项比赛的选手的做题的办法，我将其称之为黑箱理论 。因为对于大学生来说，短期内彻底明白一个比较热门的模型是很困难的，尤其是这道题目并不是我们专业相关的。我有一个比较生动的例子：

关于模型解决问题这一流程中最关键的问题叙述完毕！下面我们来谈一谈

这一步说老实话，很多人都搞不清楚，也对这个问题避而不谈，在数学建模竞赛中，大家在这个环节上一般草草了事或者套一套模板，或者直接避而不谈。这里我稍微谈一谈吧。

一般而言，我们所求解的结果是一个非常理想化的结果，即是建立在一个合理的假设后的模型，并且其环境变量是准确的或较优的。在优化后分析这一步，我们假设模型是合理的，而重点分析环境变量的取值，和在环境变量下取值的变动进行讨论和分析。关于环境变量的叙述见下 ：

环境变量是我们对未来环境状态的一种估计，因而不可避免地会存在一定的误差。同时，在方案实际执行过程中，环境变量的取值还可能会发生不同程度的变化。而环境变量取值的变化，可能会导致模型的最优解和目标函数的最优值发生变化。如果依据当前模型的最优解做出决策，就存在一定程度风险。为了缓解或是避免环境变化可能造成的风险，在提出决策建议前还需要进行优化后分析。

以上是环境变量的解释，以及环境变量对模型的影响。下面是一个对优化后分析的一种定义 ：

优化后分析也被称为敏感性分析，即分析模型最优解和最优值对某一个或多个环境变量发生变化的敏感程度，是一种评估候选方案风险的不确定性分析方法

一般而言，在数学建模竞赛中，大家在做敏感性分析时，倾向使用图表来描述一个模型输出情况。这样的原因主要有以下几点：第一，大家一般在做敏感性分析时，到了比赛的末尾阶段，可能大家多多少少感到时间上不够用。一般决定做敏感性分析的队伍，基本上都是要决定冲击国家一等奖的队伍，更多的队伍选择放弃这个部分，直接对文章进行收尾工作。所以，对非常有限的条件进行调参”，在这个基础上，把一系列的输出用图像的形式进行表示，这样不仅节省时间，而且由于图像直观易懂，评委可以马上清楚模型在环境的影响下会如何出现变化。

对于环境的可变范围，也有一定的讲究 ：

由于实际环境固有不确定性，导致决策不可避免地会存在一定程度的风险，敏感性分析有助于降低这种风险。一般而言，环境变量可变范围越大，则实际超出该范围的可能性就越小，对应的风险也就越小。反之，可变范围越小，则实际超出该范围的可能性就越大，对应的风险也就越大。

对于模型的解而言，可能最优解经过敏感性分析后发现其环境变量的可变程度较小，因此虽然结果较好，但是十分受到环境的制约，存在较大的风险。而一些输出可能结果不如最优解，但其环境适应能力较好，对于不同的决策者会有不同的选择。因此虽然说在数学建模竞赛中，我们为了赶时间可以不进行这个分析，但是在日常生活中，做相关分析时，可不能忘记了，其存在的风险可能会真正影响到我们的生活。我们熟悉的投资组合模型就是利用了这一思想。

下面我们来谈一谈

把模型求解和分析得到的结果与所研究的实际问题进行对比分析，以检验模型的合理性，称为模型检验。如果检验发现模型结果与实际不符，则应该修正假设或是改换其他方法重新构建模型。通常一个模型需要经过多次反复修改，才能得到令人满意的结果。

以上是模型检验的定义，在数学建模竞赛或者很多模型类比赛的流程中，这一步往往很少单独拿出来作为一个流程进行分析。而是模型的建立与求解中，间接地进行模型的检验了。比如我们会将一些历史上的数据代入模型来检验模型的准确性，或者根据生活常识来判断模型的计算合理不合理。对于实在是没有数据的情况下，我们可以做仿真，生成大量的数据，来通过这些数据对模型进行验证分析。

在做出模型检验时，我们一般默认我们的模型是好用的，结果是精确的，然后我们通过不同的案例，不同的输入来验证这个模型是否正确。通常我们对于模型的检验的常用方法有以下三种 ：

1.第三方测试，这一点通常是数学建模竞赛或相关赛事没有办法做到的模型检验的方法， 因为我们在比赛完了之后，才有所谓的第三方评委帮我们进行阅卷。我们在进行模型验 证时，最好找一个从来都没有参与过模型构建的人，以他自己的视角重新检验问题的定 义和模型的构建是否合理，或者从不同的角度，再构建一个或多个新模型，并将其结果 与原模型进行对比。模型越多，出现同样错误的概率越小。从以上文字我们可以看出一 件非常有意思的事实，由于对于我们每个人来说，数学建模竞赛是无法做到第三方测试 的，但是对于组委会来说，则是一个没有标的，即无监督的大型第三方测试。意思就是 说，不同的参赛作品互为第三方测试，最终组委会在所有的模型中选择两个最好的模型 授予高教社杯”和MATLAB创新奖。” 2.回溯检验，使用历史数据重现过去来检验所构建的模型在历史环境中的应用效果。虽 然模型的应用场景是未来，但是未来没有来临，我们无法进行对比分析。但在很多的应 用中，已经积累了大量的历史数据，可以用来模型的检验。虽然过去不一定代表未来， 但是如果模型在已经知道明确结果的过去都无法给出一个令人满意的结果，就很难说服 决策者相信这个模型能够在一切都还未知的未来，会给我们带来预期的使用效果。在数 学建模竞赛中，回溯检验是一个我们较为常用的检验方法，我们通常可以带入一些已经 有的数据对模型进行检验。比如2017年的数学建模国赛A题，第一问和第二三问就是一个 内容，两个方向的过程。对于绝大多数数据驱动类的问题，都可以采用回溯检验对模型 进行验证。 3.计算机仿真，如果我们没有足够的历史数据用来进行回溯检验，可以尝试利用计算机 来对模型的运行环境进行模拟仿真，生成大量的测试数据，并利用这些数据对模型进行 验证分析。如我们较为熟悉的蒙特卡洛模拟就是一个常用的仿真方法。一般而言，仿真 常出现在数据量不足或不给数据的比赛，如美国大学生数学/交叉学科建模竞赛，通常 就要通过对模型进行仿真来验证模型的合理性，如2019年D题有关卢浮宫逃生路线设计， 就需要使用这种方法来对模型进行验证。

以上是关于模型检验的介绍，下面是有关

以上，便是对数学建模的过程（生命周期）进行了一个较为完整清晰的叙述，下面我们来谈一谈第二个议题，即它可以解决哪些问题。

2. 数学建模可以解决哪些问题？

实际上我觉得这个问题太大了，

如果大家想要了解一些数学建模较为简单的案例，可以买一本书，这本书是姜启源和谢金星老师所写，叫做《数学模型》（第五版） ，这本书也可以基本上认为是全国大学生数学建模竞赛的半官方读物。如果用心阅读此书，并且在参加数学建模竞赛，尤其是全国大学生数学建模竞赛中，这本书一定要备在身上，比如在2017年国赛A题和2019年国赛A题的问题，有一定程度上参考这本书上的模型。比如这本书第六章代数方程与差分方程模型中的CT技术的图像与重建，就是2017年国赛A题的最基础的模型，在这本书的基础之上进行学习和文献查阅，会提高很多效率。还有第五章中的香烟过滤嘴的作用，可以类比2019年高压油管的模型建立。所以不管是从感兴趣的角度还是从比赛功利的角度，这本书都是值得学习一下的。下面我把这本书的目录给大家搬运一下，参与过数学建模竞赛的同学们，应该会看到很多熟悉的影子：

第一章 建立数学模型 1.1从现实对象到数学模型 1.2数学建模的重要意义 1.3建模示例之一包饺子中的数学 1.4建模示例之二路障间距的设计 1.5建模示例之三椅子能在不平的地面上放稳吗 1.6数学建模的基本方法和步骤 1.7数学模型的特点和分类 1.8怎样学习数学建模——学习课程和参加竞赛 第二章 初等模型 2.1双层玻璃窗的功效 2.2划艇比赛的成绩 2.3实物交换 2.4汽车刹车距离与道路通行能力 2.5估计出租车的总数 2.6评选举重总冠军 2.7解读CPI 2.8核军备竞赛 2.9扬帆远航 2.10节水洗衣机 第三章 简单优化模型 3.1存贮模型 3.2森林救火 3.3倾倒的啤酒杯 3.4铅球掷远 3.5不买贵的只买对的 3.6血管分支 3.7冰山运输 3.8影院里的视角和仰角 3.9易拉罐形状和尺寸的最优设让 第四章 数学规划模型 4.1奶制品的生产与销售 4.2自来水输送与货机装运 4.3汽车生产与原油采购 4.4接力队选拔和选课策略 4.5饮料厂的生产与检修 4.6钢管和易拉罐下料 4.7广告投入与升级调薪 4.8投资的风险与收益 第五章 微分方程模型 5.1人口增长 5.2药物中毒急救 5.3捕鱼业的持续收获 5.4资金、劳动力与经济增长 5.5香烟过滤嘴的作用 5.6火箭发射升空 5.7食饵与捕食者模型 5.8赛跑的速度 5.9万有引力定律的发现 5.10传染病模型和SARS的传播 第六章 代数方程与差分方程模型 6.1投入产出模型 6.2CT技术的图像重建 6.3原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 6.4市场经济中的蛛网模型 6.5减肥计划——节食与运动 6.6按年龄分组的人口模型 第七章 离散模型 7.1汽车选购 7.2职员晋升 7.3厂房新建还是改建 7.4循环比赛的名次 7.5公平的席位分配 7.6存在公平的选举吗 7.7价格指数 7.8钢管的订购和运输 第八章 概率模型 8.1传送系统的效率 8.2报童的诀窍 8.3航空公司的超额售票策略 8.4作弊行为的调查与估计 8.5轧钢中的浪费 8.6博彩中的数学 8.7钢琴销售的存贮策略 8.8基因遗传 8.9自动化车床管理 第九章 统计模型 9.1孕妇吸烟与胎儿健康 9.2软件开发人员的薪金 9.3酶促反应 9.4投资额与生产总值和物价指数 9.5冠心病与年龄 9.6鲸虫分类判别 9.7学生考试成绩综合评价 9.8艾滋病疗法的评价及疗效的预测 第十章 博弈模型 10.1点球大战 10.2拥堵的早高峰 10.3一口价”的战略 10.4不患寡而患不均 10.5效益的合理分配 10.6加权投票中权力的度量

通过这本书我们可以看到数学建模在各个领域的简单应用，至于更深层次的应用，我觉得各行业的从业者，都可以单独开一个新的问题进行讨论了。在教学的环节中，能理解到上述层次一般上是够用了。下面回答最后一个，也是最为使用的问题：目前有哪些和数学建模相关的竞赛？

3. 目前有哪些和「数学建模」相关的竞赛？

这是一个非常好的问题，也应该是这篇回答最为实用的问题，作为一名学科竞赛指导老师，在这个领域有自己的心得体会。目前由于人工智能和数学建模是强相关，本质上人工智能的分支是很多统计模型的合集。因此这一两年数学建模类的竞赛越来越火热。我把数学建模竞赛主要分为三类：

直接冠以「数学建模」在竞赛名字上的比赛，也就是

一般我们大多数学生参加的数学建模竞赛为

除了大学生和研究生的数学建模竞赛，高中生的数学建模竞赛也有一定程度的发展，分别是丘成桐科学奖和美国高中生数学建模竞赛，由于参与人数较少，并且高中生的知识储备大多不足，并且大多精力有限，这里不展开介绍。

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